Zinseszins

Du bekommst zu deiner bestandenen Prüfung 1000 Euro geschenkt, die du nicht sofort verprassen möchtest. Du beschließt, das Geld bei einer Bank anzulegen. Auf wie viel Euro ist dein Guthaben in 5 bzw. 10 Jahren angewachsen, wenn du 2 \% Zinsen erhältst?

Im ersten Jahr erhältst du 1000\cdot \frac {2}{100}=20 Euro Zinsen. Dem Zinsfuß p=2  entspricht der Zinssatz i=\frac {2}{100}=0.02. Dein Kapital beträgt dann am Ende des ersten Jahres 1020 Euro. Im zweiten Jahr erhältst du 1020\cdot \frac {2}{100}=20.4 Euro Zinsen. Für diese Rechnungen ist eine Tabellenkalkulation gut geeignet.

Die Variable p habe ich als Schieberegler mit dem Wert p=2 festgelegt und dann im (ausgeblendeten) Algebra-Fenster die Variable i definiert durch i=\frac {p}{100}. Die Formel in der Zelle C2 lautet “= B2*i” (wie sie auch in Excel lauten würde). Die Formel in Zelle B3 ist “= B2 + C2”. Diese beiden Formeln kannst du wie in Excel “nach unten” ziehen. Die Kalkulation zeigt dir dann die Antworten auf die oben gestellten Fragen.

Wir können aber auch noch mehr erkennen: Hier liegt ein Wachstumsprozess vor, bei dem die Zinsen der Wachstumsrate entsprechen, die im Laufe der Zeit zunimmt. Der Wachstumsfaktor q bleibt hingegen konstant; es handelt sich also um exponentielles Wachstum. Der Wachstumsfaktor q wird in diesem Sachzusammenhang auch Aufzinsungsfaktor genannt und berechnet durch q=1+i=1+\frac{p}{100}. Als allgemeine Funktionsgleichung ergibt sich mit dem Anfangskapital K_0 und der Zeit t die Zinseszins-Formel:

    \begin{displaymath}K_t=K_0\cdot q^t = K_0\cdot (1+i)^t\end{displaymath}

Aufgabe

  1. Probiere mit dem GeoGebra-Applet aus, bei welchem Zinsfuß du in 10 Jahren dein Kapital verdoppelt hast. Verdoppelt sich dein Kapital auch, wenn du nur 500 Euro anlegst?
  2. In welcher Zeit hat sich dein Geld bei dem ursprünglichen Zinsfuß von 2% verdoppelt?

Lösung zu b

Gesucht ist die Zeit t mit K_t=2000, also mit 1000\cdot 1.02^t = 2000. Die Lösung könntest du durch Ausprobieren erhalten oder als graphische Lösung (durch Schnitt der Funktion K_t mit g(t)=2000 oder mit Hilfe von Löse im CAS-Modul von GeoGebra oder mit Solve auf einem Taschenrechner. Oder du erinnerst dich an den Logarithmus und rechnest:

    \begin{align*} 1000\cdot 1.02^t &= 2000\\ 1.02^t &= 2\\ t &= log_{1.02}(2)\thickapprox 35 \end{align*}

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