Die eulersche Zahl

Du bist im Internet auf die Superbank gestoßen: sie zahlt sagenhafte 100 \% Zinsen. Das bedeutet ja, dass du dein Prüfungsgeld schon in einem Jahr verdoppeln könntest!

Deine Freundin Klara hat dann noch eine Idee: Du legst das Geld zunächst nur für ein halbes Jahr und gleich darauf für das zweite halbe Jahr an. So erhältst du für das erste halbe Jahr 500 Euro Zinsen (50 \%), und dein Kapital ist auf 1500 Euro angewachsen. Wenn du diese wieder anlegst, erhältst für das zweite halbe Jahr 750 Euro Zinsen und du hast am Ende des Jahres satte 2250 Euro. In einem Schwung berechnet ergäbe sich bei 2 Zinszeiträumen und dem Aufzinsungsfaktor q=1+\frac{1}{2} aus der (angepassten) Zinseszinsformel K_2=1000\cdot (1+\frac{1}{2})^2=2250 Euro.

Das geht doch noch besser, denkst du. Bei vierteljährlicher Verzinsung ergibt sich ein Zinsfuß von 25 \% über vier Zinszeiträume und daher das Endkapital K_4=1000\cdot (1+\frac{1}{4})^4\thickapprox 2441.41 Euro.

Wird das Kapital noch größer, wenn die Anzahl der Zinszeiträume erhöht wird? In der Tabelle siehst du die weitere Entwicklung. Wenn n die Anzahl der Zinszeiträume ist, ergibt sich als Aufzinsungsfaktor q=1+\frac{1}{n} und für das Endkapital K_n=K_0\cdot (1+\frac{1}{n})^n. In der Tabelle siehst du die Ergebnisse.

Das Kapital steigt zwar bei Erhöhung der Zahl der Zinszeiträume immer weiter, aber nicht unbegrenzt. Der Ausdruck (1+\frac{1}{n})^n hat für n\rightarrow \infty einen Grenzwert.

Der Grenzwert \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n existiert. Diese Zahl heißt die eulersche Zahl und wird mit e bezeichnet. Es ist e=2.71828 18284 59045 23536 02874....

Die Funktion f mit f(x)=e^x wird natürliche Exponentialfunktion oder auch kurz e-Funktion genannt. In manchen Computersprachen erhält man sie mit exp(x).

Anmerkung: Diese Art der Verzinsung, bei der das Kapital jeden Bruchteil einer Sekunde (mit Zinseszins) verzinst wird, heißt stetige Verzinsung. Für einen anderen Zinssatz i ergibt sich als Verzinsungsformel K_n=K_0\cdot e^{i\cdot n}. In der Praxis wird stetige Verzinsung  nicht benutzt, sie wird jedoch als mathematisches Modell zum Vergleich verwendet.

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