Die eulersche Zahl

Du bist im Internet auf die Superbank gestoßen: sie zahlt sagenhafte $100 \%$ Zinsen.

 Das bedeutet ja, dass du dein Prüfungsgeld schon in einem Jahr verdoppeln könntest!

Deine Freundin Klara hat dann noch eine Idee: Du legst das Geld zunächst nur für ein halbes Jahr und gleich darauf für das zweite halbe Jahr an. So erhältst du für das erste halbe Jahr $500$ Euro Zinsen ($50 \%$), und dein Kapital ist auf $1500$ Euro angewachsen. Wenn du diese wieder anlegst, erhältst für das zweite halbe Jahr $750$ Euro Zinsen und du hast am Ende des Jahres satte $2250$ Euro. In einem Schwung berechnet ergäbe sich bei 2 Zinszeiträumen und dem Aufzinsungsfaktor $q=1+\frac{1}{2}$ aus der (angepassten) Zinseszinsformel $K_2=1000\cdot (1+\frac{1}{2})^2=2250$ Euro.

Das geht doch noch besser, denkst du. Bei vierteljährlicher Verzinsung ergibt sich ein Zinsfuß von $25 \%$ über vier Zinszeiträume und daher das Endkapital $K_4=1000\cdot (1+\frac{1}{4})^4\thickapprox 2441,41$ Euro.

Wird das Kapital noch größer, wenn die Anzahl der Zinszeiträume erhöht wird? In der Tabelle siehst du die weitere Entwicklung. Wenn $n$ die Anzahl der Zinszeiträume ist, ergibt sich als Aufzinsungsfaktor $q=1+\frac{1}{n}$ und für das Endkapital $K_n=K_0\cdot (1+\frac{1}{n})^n$. In der Tabelle siehst du die Ergebnisse.

Das Kapital steigt zwar bei Erhöhung der Zahl der Zinszeiträume immer weiter, aber nicht unbegrenzt. Der Ausdruck $(1+\frac{1}{n})^n$ hat für $n\rightarrow \infty$ einen Grenzwert.

Der Grenzwert $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ existiert. Diese Zahl heißt die eulersche Zahl und wird mit $e$ bezeichnet. Es ist $e=2,71828 18284 59045 23536 02874…$

Die Funktion $f$ mit $f(x)=e^x$ wird natürliche Exponentialfunktion oder auch kurz e-Funktion genannt. In manchen Computersprachen erhält man sie mit exp(x).

Anmerkung: Diese Art der Verzinsung, bei der das Kapital jeden Bruchteil einer Sekunde (mit Zinseszins) verzinst wird, heißt stetige Verzinsung. Für einen anderen Zinssatz $i$ ergibt sich als Verzinsungsformel $K_n=K_0\cdot e^{i\cdot n}$. In der Praxis wird stetige Verzinsung  nicht benutzt, sie wird jedoch als mathematisches Modell zum Vergleich verwendet.