Gerade im Raum | mainphy.de

Dieser Beitrag ist Teil 2 von 4 in der Reihe 4.2 Geraden und Ebenen

4.2 Geraden und Ebenen

Eine Gerade im Raum verläuft durch zwei Punkte $P$ und $Q$ . Um die Gerade zu beschreiben, brauchen wir einen Stützpunkt (zum Beispiel $P$ ) und einen Richtungsvektor (zum Beispiel den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ .

Drehe das Koordinatensystem. Mit einem Schwung kannst du das Bild auch dauernd rotieren lassen. Zum Anhalten einfach noch mal hinein klicken.
Betrachte auch die Vektoren und die Koordinatenebenen.
Was sind die Spurpunkte?

Du kannst die Punkte $P$ und $Q$ bewegen!

Dr. Marie-Luise Herrmann, erstellt mit GeoGebra

Mathematische Beschreibung

Für die vektorielle Gleichung einer Geraden benötigst du einen Stützpunkt $P$ mit dem Ortsvektor $\vec p$ und einen Richtungsvektor $\vec u$ . Dann kommst du vom Ursprung zu jedem beliebigen Geradenpunkt $X$ , wenn du zunächst zum Stützpunkt gehst und anschließend ein Vielfaches des Richtungsvektors entlang der Geraden wanderst. Du erhältst dann eine Parametergleichung für die Gerade: $g: \vec x = \vec p + t \cdot \vec u$

Du kannst natürlich auch eine Gerade durch zwei gegebene Punkte legen. Dann ist der Richtungsvektor einfach der Verbindungsvektor der beiden Punkte.

Beispiel

Eine Gerade soll durch die Punkte $P(1, 2, 4)$ und $Q(3, 3, 2)$ verlaufen. Wenn $P$ der Stützpunkt ist, könntest du als Richtungsvektor den Vektor $\vec u= \overrightarrow{PQ} =\vec q - \vec p = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ wählen. Als Geradengleichung erhältst du dann:

$\begin{align*} g: \vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} \end{align*}$

Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. Wenn du diese kennst, kannst du durch eine Zeichnung einen ganz guten Eindruck von der Lage der Geraden im Raum erhalten.

Für alle Punkte der $x_1-x_2-$ Ebene ist $x_3=0$ . Wenn du das in die Parametergleichung einsetzt, erhältst du die Vektorgleichung:

$\begin{align*} \vec x = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} \end{align*}$

oder koordinatenweise das lineare Gleichungssystem:

$\begin{align*} x_1 &=1+2t\\ x_2&=2+t\\ 0&=4-2t \end{align*}$

Aus der letzten Gleichung ergibt sich $t=2$ ; wenn du den Wert in die ersten beiden Gliechungen einsetzt, ergeben sich $x_1=5$ und $x_2=4$ . Der Spurpunkt in der $x_1-x_2-$ Ebene ist also $S_{1,2}(5,4,0)$ . Die beiden übrigen Spurpunkte kannst du ja bestimmt alleine finden – oder arbeite mit GeoGebra.

GeoGebra-Befehl

Gerade[ <Punkt>, <Richtungsvektor> ] bzw. Gerade[ <Punkt>, <Punkt> ]

Reihen Navigation<< Vektoren und GeradenParameterform der Ebenengleichung >>