Punkte und Vektoren

In der GeoGebra-Zeichnung sind vier Punkte P, Q, R und S gegeben, die durch drei Pfeile \vec a = \overrightarrow{PQ}\vec b = \overrightarrow{QR} und \vec c = \overrightarrow{RS} verbunden sind. Der GeoGebra-Befehl zum Zeichnen der Pfeile ist:
Vektor[ <Anfangspunkt> , <Endpunkt> ].

Die Achsen werden in der analytischen Geometrie (oder Vektorgeometrie) häufig mit x_1– und x_2-Achse anstelle von x– und y-Achse bezeichnet. Die Pfeile lassen sich durch Zahlen beschreiben, die angeben, wie man sich vom Anfangspunkt in Richtung der Achsen bewegen muss, um zum Endpunkt zu gelangen. Von P zu Q muss man 3 Einheiten in x_1-Richtung und 2 Einheiten in x_2-Richtung gehen. Diese Zahlen nennt man auch die Koordinaten des Pfeils \overrightarrow{PQ}. GeoGebra schreibt die Pfeile schon gleich in der Koordinatendarstellung auf: \vec a = \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}.

Die Pfeile \vec a und \vec c haben die gleiche Koordinatendarstellung. Wenn du den Pfeil \vec a so verschiebst, dass sein Anfangspunkt im Punkt R liegt, wären die beiden Pfeile gleich. Alle diese Pfeile repräsentieren denselben Vektor.

Ein Vektor \vec a ist eine Menge von Pfeilen, die alle dieselbe Koordinatendarstellung \vec a = \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} haben. Sie sind untereinander parallel verschoben.

Zwei Vektoren \vec a und \vec c sind gleich, wenn sie die gleiche Koordinatendarstellung haben. Die zugehörigen Pfeile sind parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Der Vektor \overrightarrow{QP} wird der Gegenvektor von \vec a=\overrightarrow{PQ} genannt und mit -\vec a bezeichnet. Die zugehörigen Pfeile sind parallel und gleich lang, aber entgegengesetzt gerichtet. Ist \vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}, so hat der Gegenvektor die Koordinatendarstellung -\vec a=\begin{pmatrix}-a_1\\-a_2\end{pmatrix}.

 

Der Vektor \overrightarrow{PP}, der einen Punkt P mit sich selbst verbindet, wird der Nullvektor genannt und mit \vec o bezeichnet. Er hat die Koordinatendarstellung \vec o=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}. Man kann ihn nicht als Pfeil zeichnen.

Der Vektor \overrightarrow{PQ}, der von Punkt P(p_1 | p_2) zu Punkt Q(q_1 | q_2) führt, wird Verbindungsvektor der beiden Punkte genannt. Er hat die Koordinatendarstellung \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}q_1-p_1\\q_2-p_2\end{pmatrix}.

 

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