Punkte und Vektoren | mainphy.de

Dieser Beitrag ist Teil 1 von 8 in der Reihe 4.1 Punkte und Vektoren

4.1 Punkte und Vektoren

In der GeoGebra-Zeichnung sind vier Punkte $P$ , $Q$ , $R$ und $S$ gegeben, die durch drei Pfeile $\vec a = \overrightarrow{PQ}$ , $\vec b = \overrightarrow{QR}$ und $\vec c = \overrightarrow{RS}$ verbunden sind. Der GeoGebra-Befehl zum Zeichnen der Pfeile ist:
Vektor[ <Anfangspunkt> , <Endpunkt> ].

Die Achsen werden in der analytischen Geometrie (oder Vektorgeometrie) häufig mit $x_1$ – und $x_2$ -Achse anstelle von $x$ – und $y$ -Achse bezeichnet. Die Pfeile lassen sich durch Zahlen beschreiben, die angeben, wie man sich vom Anfangspunkt in Richtung der Achsen bewegen muss, um zum Endpunkt zu gelangen. Von $P$ zu $Q$ muss man 3 Einheiten in $x_1$ -Richtung und 2 Einheiten in $x_2$ -Richtung gehen. Diese Zahlen nennt man auch die Koordinaten des Pfeils $\overrightarrow{PQ}$ . GeoGebra schreibt die Pfeile schon gleich in der Koordinatendarstellung auf: $\vec a = \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ .

Die Pfeile $\vec a$ und $\vec c$ haben die gleiche Koordinatendarstellung. Wenn du den Pfeil $\vec a$ so verschiebst, dass sein Anfangspunkt im Punkt $R$ liegt, wären die beiden Pfeile gleich. Alle diese Pfeile repräsentieren denselben Vektor.

Ein Vektor $\vec a$ ist eine Menge von Pfeilen, die alle dieselbe Koordinatendarstellung $\vec a = \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ haben. Sie sind untereinander parallel verschoben.

Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec c$ sind gleich, wenn sie die gleiche Koordinatendarstellung haben. Die zugehörigen Pfeile sind parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Der Vektor $\overrightarrow{QP}$ wird der Gegenvektor von $\vec a=\overrightarrow{PQ}$ genannt und mit $-\vec a$ bezeichnet. Die zugehörigen Pfeile sind parallel und gleich lang, aber entgegengesetzt gerichtet. Ist $\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ , so hat der Gegenvektor die Koordinatendarstellung $-\vec a=\begin{pmatrix}-a_1\\-a_2\end{pmatrix}$ .

Der Vektor $\overrightarrow{PP}$ , der einen Punkt $P$ mit sich selbst verbindet, wird der Nullvektor genannt und mit $\vec o$ bezeichnet. Er hat die Koordinatendarstellung $\vec o=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ . Man kann ihn nicht als Pfeil zeichnen.

Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ , der von Punkt $P(p_1 | p_2)$ zu Punkt $Q(q_1 | q_2)$ führt, wird Verbindungsvektor der beiden Punkte genannt. Er hat die Koordinatendarstellung $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}q_1-p_1\\q_2-p_2\end{pmatrix}$ .

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