Lineare Abhängigkeit

4.1 Punkte und Vektoren

Definition:

Vektoren $\vec {a_1}, \vec {a_2},..., \vec {a_n}$ heißen linear unabhängig, falls sich kein Vektor von ihnen als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen lässt.

Kann man wenigstens einen der Vektoren $\vec {a_1}, \vec {a_2},..., \vec {a_n}$ als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen, so heißen die Vektoren linear abhängig.

Zwei Vektoren

Zwei Vektoren $\vec {a_1}$ und $\vec {a_2}$ sind linear unabhängig, wenn sie nicht parallel sind.
Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, sagt man auch, sie sind kollinear.

Drei Vektoren

In einer zweidimensionalen Ebene sind drei Vektoren immer linear abhängig.
Wenn sich dreidimensionalen Raum ein Vektor als Linearkombination schreiben lässt, liegen die drei Vektoren in einer Ebene; man sagt die Vektoren sind komplanar.
Liegen die Vektoren nicht in einer Ebene, sind sie linear unabhängig.

Vier Vektoren

Vier Vektoren sind immer linear abhängig (zumindest in unserer dreidimensionalen Welt).

In zwei Dimensionen

In der Grafik sind links alle Vektoren paarweise linear abhängig. Gib die Vektoren $\vec b$ , $\vec c$ und $\vec d$ als Vielfache des Vektors $\vec a$ an. Gib den Vektor $\vec a$ als Vielfaches des Vektors $\vec c$ an. Tipp: Die Vektoren lassen sich bewegen.

Dr. Marie-Luise Herrmann, erstellt mit GeoGebra

Die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ rechts sind linear unabhängig.

In drei Dimensionen

Die beiden folgenden Grafiken sehen fast gleich aus. Betrachte sie jeweils aus anderen Sichtpunkten, indem du sie drehst. Du kannst auch die (roten) Punkte verändern.

In welcher Grafik werden linear abhängige (komplanare), in welcher linear unabhängige Vektoren dargestellt?

Dr. Marie-Luise Herrmann, erstellt mit GeoGebra

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