Lineares Gleichungssystem Archive

LGS lösen mit einer Matrix

Dieser Beitrag ist Teil 16 von 18 in der Reihe GeoGebra-Kurs

Auf der Seite Lineare Gleichungssysteme haben wir als Beispiel das LGS

$\begin{align*}3x+6y-2z&=-15\\3x+2y+z&=2\\2x+5y-5z&=-23\end{align*}$

kennengelernt. Diesem LGS entspricht die erweiterte Koeffizientenmatrix:

$\begin{pmatrix}3&6&-2&-15\\3&2&1&2\\2&5&-5&-23\end{pmatrix}$

Bei einer Koeffizienzenmatrix lassen sich die gleichen Zeilenumformungen durchführen wie bei einem normalen LGS. So könnte man dann die Matrix

$\begin{pmatrix}3&6&-2&-15\\0&-4&3&17\\0&0&-35&-105\end{pmatrix}$

erhalten, die der Stufenform entspricht. Wenn man noch weitere Zeilenumformungen vornimmt, kann man zu der Form

$\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}$

gelangen. Diese Form heißt auch die reduzierte Stufenform oder Treppennormalform. GeoGebra kennt diese auch:

Aus der Treppennormalform lassen sich die Lösungen unmittelbar ablesen: x = 1, y = -2 und z = 3. Genial einfach!

Online-Version von GeoGebra

LGS lösen mit Löse

Dieser Beitrag ist Teil 15 von 18 in der Reihe GeoGebra-Kurs

Mit dem CAS-Befehl Löse lassen sich auch Gleichungssysteme lösen. Dann wird aber die Syntax Löse[<Liste von Gleichungen>,<Liste von Variablen>] verwendet. Eine Liste erhältst du, indem du mehrere Objekte (Punkte, Strecken, Funktionen, Gleichungen, …) mit geschweiften Klammern zusammenfasst. In Zeile 4 habe ich die Gleichungen gl1, gl2, gl3 zu einer Liste zusammengefasst und direkt in den Befehl Löse eingetragen. In Zeile 5 habe ich der Liste mit den Gleichungen gl1, gl2, gl3 den Namen lgs gegeben. In Zeile 6 habe ich nur diesen Namen verwendet. Da in den drei Gleichungen nur drei Variablen vorkommen, kann man in diesem Fall sogar die Liste von Variablen weglassen.

Lineare Gleichungssysteme

Dieser Beitrag ist Teil 14 von 18 in der Reihe GeoGebra-Kurs

LGS mit zwei Unbekannten

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen kann auf die Form $a \cdot x + b \cdot y = c$ gebracht werden (dabei dürfen nicht beide Variablen a und b den Wert 0 haben). Eine solche Gleichung entspricht grafisch einer Geraden; jeder Punkt dieser Geraden bildet ein Lösungspaar (x, y) der Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen.