Definition: Zwei Vektoren und
heißen zueinander orthogonal (bzw. senkrecht), wenn ihre zugehörigen Pfeile bei gleichem Anfangspunkt ebenfalls orthogonal (d.h. senkrecht) sind. Man schreibt dafür auch:
.
Weil das Skalarprodukt ist, gilt für orthogonale Vektoren wegen
der folgende Satz:
Satz: Zwei Vektoren und
mit
und
sind genau dann orthogonal zueinander, wenn
ist.
Definition: Ist ein Vektor orthogonal zu zwei Vektoren
und
, die keine Vielfachen voneinander sind, so nennt man
einen Normalenvektor von
und
(manchmal auch nur Normalvektor genannt).
Definition: Ist ein Vektor orthogonal zu den beiden Spannvektoren
und
einer Ebene
, so nennt man
einen Normalenvektor der Ebene
.
Beispiel: Bestimme einen Normalenvektor zu den Vektoren und
.
Wenn der Vektor zu den beiden Vektoren
und
orthogonal sein soll, muss für die Skalarprodukte gelten:
und
(Zeilen 4 und 5). Da das Gleichungssystem mit g1 und g2 aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten besteht, lässt es sich nicht eindeutig lösen. Das ist auch kein Wunder, weil jedes Vielfache eines Normalenvektors auch wieder ein Normalenvektor ist. Du kannst aber den Wert einer Unbekannten festsetzen (zum Beispiel
in Zeile 6 als dritte Gleichung). Dann erhältst du in Zeile 8 eine Lösung. Schöner wäre vielleicht das Vierfache dieses Vektors (siehe Zeile 9).
GeoGebra-Befehl
Es gibt zwar einen Befehl Normalvektor[<Vektor>], der aber nur im Zweidimensionalen funktioniert. Für drei Dimensionen siehe die nächste Seite: Das Kreuzprodukt