Orthogonalität | mainphy.de

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4.3 Abstände und Winkel

Definition: Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ heißen zueinander orthogonal (bzw. senkrecht), wenn ihre zugehörigen Pfeile bei gleichem Anfangspunkt ebenfalls orthogonal (d.h. senkrecht) sind. Man schreibt dafür auch: $\vec a \perp \vec b$ .

Weil das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\cdot |\vec b| \cdot cos(\varphi)$ ist, gilt für orthogonale Vektoren wegen $cos(90^{\circ})$ der folgende Satz:

Satz: Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ mit $\vec a \neq \vec 0$ und $\vec b \neq \vec 0$ sind genau dann orthogonal zueinander, wenn $\vec a \cdot \vec b =0$ ist.

Definition: Ist ein Vektor $\vec n$ orthogonal zu zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ , die keine Vielfachen voneinander sind, so nennt man $\vec n$ einen Normalenvektor von $\vec a$ und $\vec b$ (manchmal auch nur Normalvektor genannt).

Definition: Ist ein Vektor $\vec n$ orthogonal zu den beiden Spannvektoren $\vec a$ und $\vec b$ einer Ebene $E$ , so nennt man $\vec n$ einen Normalenvektor der Ebene $E$ .

Beispiel: Bestimme einen Normalenvektor zu den Vektoren $\vec a =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ und $\vec a =\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Wenn der Vektor $\vec c$ zu den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ orthogonal sein soll, muss für die Skalarprodukte gelten: $\vec a \cdot \vec c =0$ und $\vec b \cdot \vec c=0$ (Zeilen 4 und 5). Da das Gleichungssystem mit g1 und g2 aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten besteht, lässt es sich nicht eindeutig lösen. Das ist auch kein Wunder, weil jedes Vielfache eines Normalenvektors auch wieder ein Normalenvektor ist. Du kannst aber den Wert einer Unbekannten festsetzen (zum Beispiel $c_3=1$ in Zeile 6 als dritte Gleichung). Dann erhältst du in Zeile 8 eine Lösung. Schöner wäre vielleicht das Vierfache dieses Vektors (siehe Zeile 9).

GeoGebra-Befehl

Es gibt zwar einen Befehl Normalvektor[<Vektor>], der aber nur im Zweidimensionalen funktioniert. Für drei Dimensionen siehe die nächste Seite: Das Kreuzprodukt