Das Kreuzprodukt

Normalenvektoren zu zwei Vektoren \vec a und \vec b (oder zu Ebenen) sind in der Technik oder Physik ziemlich wichtig. Die Normalkraft wirkt zum Beispiel senkrecht zur schiefen Ebene, beim Abstützen ist eine orthogonale Stütze viel wirksamer als eine Stütze, die “schief” steht.

Mit dem Kreuzprodukt kannst du einen Normalenvektor ermitteln, ohne dass du ein Gleichungssystem aufstellen musst (das wird sozusagen für allgemeine Vektoren \vec a und \vec b gemacht). Du kannst das in dem folgenden CAS-Fenster von GeoGebra verfolgen.

In den Zeilen 4 und 5 werden die beiden Gleichungen des Gleichungssystems aufgestellt, in der Zeile 6 wird das Gleichungssystem für die drei Unbekannten c_1, c_2 und c_3 gelöst. Da es zwei Gleichungen mit drei Unbekannten sind, wird eine als Parameter gewählt (hier c_3). Die beiden Lösungen für c_1 und c_2 haben beide den gleichen Nenner und beide c_3 im Zähler. Wählst du jetzt für c_3 den Nenner a_1 b_2-a_2 b_1, so ergeben sich die drei Zeilen 7, 8 und 9. Der Vektor \vec n lässt sich auch mithilfe des Kreuzproduktes berechnen, wie die Zeile 11 zeigt.

GeoGebra-Befehl

Der Befehl ist: 

Kreuzprodukt[ <Vektor>, <Vektor>]

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