Kategorie: Analysis

Veränderung

Dieser Beitrag ist Teil 1 von 5 in der Reihe 3.1 Differenzialrechnung

Wenn sich bei einer Funktion die unabhängige Größe (häufig xx) ändert, verändert sich auch die abhängige Größe (häufig y=f(x)y = f(x)). Wenn zum Beispiel bei der Normalparabel mit f(x)=x2f(x)=x^2 der xx-Wert vonx1=1 x_1 = 1 auf x2=2x_2=2 erhöht wird, ändert sich der yy-Wert von y1=f(1)=1y_1=f(1)=1 auf  y2=f(2)=4y_2=f(2)=4.

Um diese Veränderungen für verschiedene Bereiche und an verschiedenen Stellen vergleichen zu können, ist die absolute Änderung des Funktionswertes (in dem Beispiel Δy=y2−y1\Delta y =y_2-y_1 nicht so entscheidend. Viel wichtiger ist die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion:

ΔyΔx=y2−y1x2−x1=f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}


Für das Beispiel oben gilt: ΔyΔx=f(x2)−f(x1x2−x1=4−12−1=3\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1}{x_2-x_1}=\frac{4-1}{2-1}=3.

Die durchschnittliche Änderungsrate wird auch Differenzenquotient genannt. Der Teil der Mathematik, die sich mit Änderungsraten und ihren Anwendungen beschäftigt, heißt Differenzialrechnung.

Wirkungen

Dieser Beitrag ist Teil 1 von 3 in der Reihe 3.3 Integralrechnung

Wenn von einer Größe die lokale (bzw. momentane) Änderungsrate in einem Intervall bekannt ist, lässt sich daraus auf die gesamte Veränderung der Größe schließen, also die Wirkung der lokalen Änderungsrate bestimmen. „Wirkungen“ weiterlesen